Question

17．如圖所示，已知直線l的表達式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向A移動，同時動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，其中一點停止運動，另一點也隨之停止運動，設點Q、P移動時間為t秒．
（1）求點A、B的坐標
（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似；
（3）當t為何值時，△APQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據一次函數圖象上點的坐標特征，即與x軸的交點y=0，與y軸的交點x=0，求出A，B兩點的坐標；
（2）由AO與BO的長，利用勾股定理求出AB的長，根據移動時間為t，表示出AP與AQ，分兩種情況考慮：①由∠QAP=∠BAO，得到△APQ∽△AOB；②由∠QAP=∠BAO，得到△AQP∽△AOB，分別求出t的值即可；
（3）過Q點向x軸引垂線，垂足是M，求得QM，再根據APQ的面積=$\frac{1}{2}$×QM×AP，可以得到△APQ的面積關于t的函數解析式，根據二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{4}{3}$x+8，
令x=0，得y=8；令y=0，得x=6，
∴A，B的坐標分別是（6，0），（0，8）；

（2）如圖所示，由BO=8，AO=6，根據勾股定理得AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
當移動的時間為t時，AP=t，BQ=2t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，
∴①當$\frac{PA}{OA}$=$\frac{QA}{BA}$時，△APQ∽△AOB，
此時，$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴t=$\frac{30}{11}$（秒）；
∵∠QAP=∠BAO，
②當$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$時，△APQ∽△AOB，
此時，$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
∴t=$\frac{50}{13}$（秒），
綜上所述，當t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒時，△APQ與△AOB相似；

（3）如圖所示，過點Q作QM⊥AO于M，則QM∥BO，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{QM}{BO}$=$\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{QM}{8}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得QM=$\frac{4}{5}$（10-2t），
∴設△APQ的面積為S，則
S=$\frac{1}{2}$×AP×QM
=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{4}{5}$（10-2t）
=-$\frac{4}{5}$t²+4t，
∴當t=$\frac{5}{2}$時，S有最大值，且最大值為5，
即當t為$\frac{5}{2}$時，△APQ的面積最大，最大面積是5．

點評 此題屬于相似形綜合題，主要考查了一次函數與坐標軸的交點，二次函數的性質，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合應用，熟練掌握一次函數的性質及相似三角形的對應邊成比例是解本題的關鍵．解題時注意分類思想的靈活運用．