Question

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長．

Answer 1

【考點】切線的判定．

【專題】幾何圖形問題．

【分析】（1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據等腰三角形的性質由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據對頂角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；

（2）設BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據勾股定理得到（）²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

【解答】（1）證明：連接OB，如圖，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

 

（2）解：設BC=x，則PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB²+BC²=OC²，

∴（）²+x²=（x+1）²，

解得x=2，

即BC的長為2．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理．