Question

14．如圖所示，已知∠AOB=60°，☉O₁與∠AOB的兩邊都相切，沿OO₁方向做☉O₂與∠AOB的兩邊相切，且與☉O₁外切，再作☉O₃與∠AOB的兩邊相切，且與☉O₂外切，…，如此作下去，☉O_n與∠AOB的兩邊相切，且與☉O_n-1外切，設☉O_n的半徑為r_n，已知r₁=1則r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 作輔助線，構建直角三角形，根據相似三角形的性質分別求半徑r₂、r₃、…、并找規律，得出結論．

解答 解：設⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃與邊OA的切點為G、M、N，
連接O₁G、O₂M、O₃N，
則O₁G⊥OA、O₂M⊥OA、O₃N⊥OA，
∴O₁G∥O₂M∥O₃N，
∵⊙O₁與∠AOB的兩邊都相切，∠AOB=60°，
∴∠AOO₁=∠BOO₁=30°，
∵OG=r₁=1，
∴OO₁=2，
∵O₁G∥O₂M，
∴△OO₁G∽△OO₂M，
∴$\frac{{O}_{1}G}{{O}_{2}M}$=$\frac{O{O}_{1}}{O{O}_{2}}$，
∴$\frac{1}{{r}_{2}}$=$\frac{2}{2+1+{r}_{2}}$，
∴r₂=3，
同理得：$\frac{3}{{r}_{3}}$=$\frac{6}{6+3+{r}_{3}}$，
∴r₃=9=3²，
…
∴r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵，
故答案為：3²⁰¹⁵．

點評 本題考查了切線長定理和切線的性質，本題可以看作是從圓外一點引圓的兩條切線，可以得它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．根據這此結論與平行相似的判定結合，利用相似三角形的性質依次求圓的半徑即可．