Question

10．如圖，在?ABCD中，AB=3，BC=5，對角線AC⊥AB，點P從點D出發(fā)，沿折線DC-CB以每秒1個單位長度的速度項終點B運動（不與點B、D重合），過點P作PE⊥AB，交射線BA于點E，連接PD、DE．設點P的運動時間為t（秒），△PDE與?ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）．
（1）AD與BC間的距離等于$\frac{12}{5}$；
（2）求PE的長（用含t的代數式表示）；
（3）求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）過點A作AF⊥BC，垂足為F，在三角形ABC中依據勾股定理可求得AC的長，然后依據三角形的面積公式可求得AF的長，從而得到AD與BC之間的距離；
（2）當0＜t≤3時，如圖2所示，先證明四邊形AEPC是平行四邊形，從而可知PE=AC=4；當3＜t＜8時，如圖3所示；由題意可知PE∥AC，從而得到△BPE∽△BCA，由相似三角形的性質可知：$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$，從而可證得PE=$\frac{4（8-t）}{5}$=$-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}$；
（3）當0＜t≤3時，如圖4所示；設PE與AD的交點為F．由題意可知PF∥AC，從而得到△DPF∽△DCA，由相似三角形的性質可知$\frac{PF}{AC}=\frac{DP}{DC}$，從而可求得PF=$\frac{4t}{3}$，由三角形的面積公式可知S=$\frac{1}{2}DP•PF$=$\frac{2}{3}{t}^{2}$；當3＜t＜8時，如圖5所示：延長DC、EP交于點G，則DG⊥EG．由證明△CPG∽△BCA，從而得到$\frac{CG}{AB}=\frac{PC}{BC}$，于是可求得DG=$\frac{3（t-3）}{5}$+3=$\frac{3t}{5}+\frac{6}{5}$，由三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$PE•DG=-$\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}$．

解答 解：（1）如圖1所示：過點A作AF⊥BC，垂足為F．

∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中由勾股定理得：AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵${S}_{△ACB}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}BC•AF$，
∴AF•BC=AB•AC，即5AF=12．
解得：AF=$\frac{12}{5}$．
∴AD與BC間的距離等于$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．
（2）當0＜t≤3時，如圖2所示；

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE=AC=4．
當3＜t＜8時，如圖3所示；

∵PE⊥AB，AC⊥AB，
∴PE∥AC．
∴△BPE∽△BCA．
∴$\frac{PE}{AC}=\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PE}{4}=\frac{8-t}{5}$．
∴當PE=$\frac{4（8-t）}{5}$=$-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}$．
∴PE的長度=$\left\{\begin{array}{l}{4（0＜t≤3）}\\{-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}（3＜t＜8）}\end{array}\right.$．
（3）當0＜t≤3時，如圖4所示；設PE與AD的交點為F．

∵AC⊥AB，PE⊥AB，
∴PF∥AC．
∴△DPF∽△DCA．
∴$\frac{PF}{AC}=\frac{DP}{DC}$，即$\frac{PF}{4}=\frac{t}{3}$．
解得：PF=$\frac{4t}{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}DP•PF$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}t•t$=$\frac{2}{3}{t}^{2}$．
當3＜t＜8時，如圖5所示：延長DC、EP交于點G，則DG⊥EG．

∵AB∥CD，
∴∠B=∠PCG．
∵∠BAC=∠PGC．
∴△CPG∽△BCA．
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{PC}{BC}$，即$\frac{CG}{3}=\frac{t-3}{5}$．
∴OG=$\frac{3（t-3）}{5}$+3=$\frac{3t}{5}+\frac{6}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$PE•DG=$\frac{1}{2}×（-\frac{4}{5}t+\frac{32}{5}）（\frac{3}{5}t+\frac{6}{5}）$=-$\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}$．
綜上所述S與t的函數關系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{6}{25}{t}^{2}+\frac{36}{25}t+\frac{96}{25}（3＜t＜8）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查的是相似三角形的綜合應用，解答本題主要應用了相似三角形的性質和判定、平行四邊形的性質和判定、勾股定理、三角形的面積公式，依據相似三角形的性質求得PE與DG的長度（用含t的式子表示）是解題的關鍵．