分析 (1)連接OM交AC于N,由垂徑定理的推論得出OM⊥AC,AN=CN,再由已知條件得出PM⊥OM,即可得出直線PM是⊙O的切線;
(2)證明ON是△ABC的中位線,由三角形中位線定理得出ON=$\frac{1}{2}$BC=2,證明△OAN∽△OPM,得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$,即可得出PO的長(zhǎng).
解答 (1)證明:連接OM交AC于N,如圖所示:
∵點(diǎn)M是$\widehat{AC}$的中點(diǎn),
∴OM⊥AC,AN=CN,
∵AC∥PM,
∴PM⊥OM,
∴直線PM是⊙O的切線;
(2)解:∵OA=OB,AN=CN,
∴ON是△ABC的中位線,
∴ON=$\frac{1}{2}$BC=2,
∵AB=10,
∴OM=OA=$\frac{1}{2}$AB=5,
∵AC∥PM,
∴△OAN∽△OPM,
∴$\frac{OA}{PO}=\frac{ON}{OM}$,即$\frac{5}{PO}=\frac{2}{5}$,
解得:PO=12.5.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、垂徑定理、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握切線的判定,證明三角形相似得出比例式是解決問題(2)的關(guān)鍵.
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