Question

如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請找出并給于證明。

（2）設DM = x，OA=R，求R關于x 的函數關系式；是否存在整數R,使得正方形ABCD內部的扇形OAM圍成的圓錐地面周長為p ，若存在請求出此時DM的長；不存在，請說明理由。

（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由.

Answer 1

解（1）∵MN切⊙O于點M，∴   ………………… 1分

∵

∴   …………………………… 1分

又∵∴△∽△， ……1分

（2）在Rt△中，，設；

∴， ………………………1分

由勾股定理得：，……………… 1分

∴，∴；  ……………… 1分

∵4＜OA＜8即4＜R＜8

∴當R=5時，∠MOA超過180⁰，不符合，舍去……………… 1分

當R=6時，∠MOA=160^0，∴

∵＞0，^，∴                       ……………… 1分

同理當R=7時，x=                         ……………… 1分

（3）∵，又

且有△∽△， ∴， ∴代入得到； …………… 1分

同理，∴代入得到；  ……………………………………2分

∴△CMN的周長為P=

                  ．………………1分

在點O的運動過程中，△CMN的周長P始終為16，是一個定值．