Question

9．如圖，點B在x軸上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，將△OAB繞點O旋轉150°得到△OA′B′，則點A′的坐標為（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．

Answer 1

分析 根據直角三角形兩銳角互余求出∠AOB=60°，然后分①順時針旋轉，點A′在y軸負半軸，根據OA′的長度寫出點A′的坐標即可；②逆時針旋轉時，求出OA′與x軸負半軸夾角為30°，過點A′作A′C⊥x軸于C，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出A′C，再利用勾股定理列式求出OC，然后寫出點A′的坐標即可．

解答 解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
①若是順時針旋150°，如圖1，點A′在y軸負半軸，
則OA′=OA=4，
所以，點A′的坐標為（0，-4）；
②若是逆時針旋轉150°，如圖2，
∵旋轉角為150°，
∴OA′與x軸負半軸夾角為30°，
過點A′作A′C⊥x軸于C，
則A′C=$\frac{1}{2}$OA′=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{OA{′}^{2}-A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
所以，點A′的坐標為（-2$\sqrt{3}$，-2），
綜上所述，點A′的坐標為（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．
故答案為：（0，-4）或（-2$\sqrt{3}$，-2）．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，主要利用了直角三角形兩銳角互余，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半以及勾股定理，難點在于分情況討論．