Question

9．直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象有且僅有2個交點，則k的取值范圍是$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 畫出函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象，要使直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象有且只有2個交點，只需直線經過（2，3）和經過（2，$\frac{1}{2}$）之間．

解答 解：函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示
∵直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象有且只有2個交點，
當直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）經過點（2，3）時，則3=2k+$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{5}{4}$，
當直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）經過點（-1，0）時，k=$\frac{1}{2}$，
當k=1時，平行于y=x+1，與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象也有且僅有兩個交點；
∴直線y=kx+$\frac{1}{2}$（k＞0）與函數y=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1（x≤2）}\\{{x}^{2}+1（-2＜x＜2）}\\{x+1（x≥2）}\end{array}\right.$的圖象有且只有2個交點，則k的取值為$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．
故答案為$\frac{1}{2}$＜k≤1或k=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查了一次函數的性質以及一次函數的圖象和二次函數的圖象，數形結合思想的應用是解題的關鍵．