Question

16．已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點E在直線BC上（不與點B、C重合），FM⊥AD，交射線AD于點M．
（1）當點E在邊BC上，點M在邊AD的延長線上時，如圖①，求證：AB+BE=AM．（提示：延長MF，交邊BC的延長線于點H．）
（2）當點E在邊CB的延長線上，點M在邊AD上時，如圖②．請直接寫出線段AB，BE，AM之間的數量關系，不需要證明．
（3）當點E在邊BC的延長線上，點M在邊AD上時，如圖③．若BE=$\sqrt{3}$，∠AFM=15°，則AM=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構建全等三角形，證明四邊形ABHM為矩形，則AM=BH，證明△ABE≌△EHF，AB=EH，根據線段的和得出結論；
（2）如圖②，AB=BE+AM，證明△AEB≌△EFH和四邊形ABHM為矩形，則AM=BH，所以AB=EH=BE+BH=BE+AM；
（3）如圖③，根據△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，從而求得∠HFE=45°-15°=30°，同理得△ABE≌△EHF，則∠AEB=∠HFE=30°，由四邊形ABHM是矩形，得AM=BH=$\sqrt{3}$-1．

解答 證明：（1）延長MF，交BC延長線于H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAM=∠B=90°，
∵FM⊥AD，
∴∠AMF=90°，
∴四邊形ABHM為矩形，
∴AM=BH，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠B=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
∵∠B=∠EHF=90°，
∴△ABE≌△EHF，
∴AB=EH，
∴AM=BH=BE+EH=BE+AB；
（2）AB=BE+AM，理由是：
如圖②，∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEH=∠EAB，
∵∠ABE=∠EHF=90°，
∴△AEB≌△EFH，
∴AB=EH，
∵∠MAB=∠ABH=∠BHM=90°，
∴四邊形ABHM為矩形，
∴AM=BH，
∴AB=EH=BE+BH=BE+AM；
（3）如圖③，∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∵∠AFM=15°，
∴∠HFE=45°-15°=30°，
同理得：△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠HFE=30°，EH=AB，
Rt△ABE中，∴AE=2，AB=1，
∴BC=EH=AB=1，
∴BH=EC=$\sqrt{3}$-1，
同理得：四邊形ABHM是矩形，
∴AM=BH=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質和判定、矩形、等腰直角三角形的性質和判定、直角三角形30°角的性質、正方形的性質，本題的三個問題中證明△ABE≌△EHF是關鍵，在證明線段的和時，利用三角形全等中線段相等作等量代換及線段的和的關系得出結論．