Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），直線l：y=6與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是直線l上點(diǎn)B右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿足0≤x≤8，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作PE⊥OA、作QF⊥BP，證△PEA≌△PFQ，設(shè)P（a，6），則PF=PE=6、QF=AE=|4-a|，可得Q（a+6，10-a），即可知點(diǎn)Q始終在直線y=-x+16上運(yùn)動(dòng)，由當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿足0≤x≤8時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)滿足6≤x≤14，縱坐標(biāo)滿足2≤y≤10，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解可得．

解答 解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，

∵BP∥OA，PE⊥OA，
∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，
∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EPA=∠FPQ}\\{∠PEA=∠PFQ=90°}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PEA≌△PFQ（AAS），
∴PE=PF，EA=QF，
若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，6），則PF=PE=6，QF=AE=|4-a|．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+6，10-a）．
∵無論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+6，10-a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+16，
∴點(diǎn)Q始終在直線y=-x+16上運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿足0≤x≤8時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)滿足6≤x≤14，縱坐標(biāo)滿足2≤y≤10，
則Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為$\sqrt{（6-14）^{2}+（10-2）^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及一次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．