Question

如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B．把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線與直線BC交于點D（3，）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式；

（2）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M、O、N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點，過點作PH垂直于x軸，交直線BD于點．當四邊形是平行四邊形時，試求動點的坐標．

Answer 1

解:(1)在直線中，令得，所以得點B

設直線BD的解析式為：,

代入B、D兩點坐標得

解得：.

所以直線BD的解析式為：.

將B、D兩點坐標代入拋物線中得：

解得：.

所以，拋物線的解析式為：

(2)存在．

假設存在點M（x,y）符合題意,則有如下兩種情形：

①若∽,則,所以有，

即又因為M點在拋物線上所以，

所以：

即：

解得或，

又因為M點在第一象限，不符合題意，

所以，故M.

②若∽,

則即，

所以

即：

解得或，

又因為M點在第一象限，不符合題意，

所以，故M(,)…

所以，符合條件的點M的坐標為 ，(,)

（3）設點P坐標為則 

又因為點P在直線BD上方，

所以0＜＜3，

又PH 垂直于x軸，交直線BD于點，

所以H,

所以，

因為四邊形是平行四邊形，

所以PH=OB=2，

即，

解得或均滿足0＜＜3

當時，，

當時，，

所以點P的坐標為，