Question

16．如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，直線BD與直線CE相交于點O．
（1）求證：CE=BD．
（2）如果當點A在直線BC的上方變化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是銳角，那么∠BOC的度數是否會發生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出∠BOC的度數．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質可得AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，再求出∠BAD=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△AEC全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ABD，然后求出∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解答．

解答 （1）證明：∵△ABE和△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AE，AC=AD，∠CAD=∠BAE=60°，
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC，∠EAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴CE=BD；

（2）解：由（1）知，△ABD≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABD，
又∵△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=∠ABE=60°，
∴∠OEB+∠OBE=∠AEB+∠ABE=60°+60°=120°，
在△BOE中，∠BOC=∠OEB+∠OBE=120°，
故∠BOC的度數不會發生變化；

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質并熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．