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3.已知:如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標系的原點,BC∥OA,直角梯形OABC的邊OA,OC分別在x軸和y軸的正半軸上,點B的坐標是(2,6),AB=AO,點E從點B出發沿射線CB方向運動,點F從點O出發沿線段OC向終點C運動,兩點同時出發,速度均為1個單位/秒,并且一個點到達終點時另一個點也停止運動,設運動時間為t秒.
(1)求A點坐標;
(2)如圖,連接EF,將線段EF繞點F順時針旋轉45°,得到線段FK,過點E作EM⊥FK,垂足為M,設M(x,y),連接MO,求MO的長;
(3)在(2)的條件下,點H是x軸上的一個動點,在x軸的上方的平面內是否存在另一個在直線AB上的點G,使以B、M、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出G的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)作輔助線,構建矩形CODB,根據點B(2,6)得:OD=BC=2,BD=CO=6,設AB=x,根據勾股定理列方程求出x的值,寫出點A的坐標;
(2)作輔助線,構建全等三角形:△FPM≌△MQE和直角△OPM,先證明△FPM≌△MQE,根據動點的時間和速度表示線段的長,設M(x,y),列方程組求出x和y,利用勾股定理求OM的長;
(3)如圖3,如圖3,先求AB的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$,根據四邊形BMHG是平行四邊形,則MH∥AB,
兩直線平行時的k相等,設MH的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+b,根據M(4,2)求出MH的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+5,得到H的坐標,由平移規律得出結論.

解答 解:(1)如圖1,過B作BD⊥OA于D,則∠ODB=90°,
∵BC∥OA,
∴∠BCO+∠AOC=90°,
∵∠AOC=90°,
∴∠BCO=90°,
∴∠BCO=∠AOC=∠ODB=90°,
∴四邊形CODB是矩形,
∵B(2,6),
∴OD=BC=2,BD=CO=6,
設AB=x,則AO=x,
∴AD=x-2,
由勾股定理得:(x-2)2+62=x2
解得:x=10,
∴AO=AB=10,
∴A(10,0);

(2)如圖2,過M作MP⊥y軸于點P,過E作EQ⊥PM交PM延長線于點Q,
∴∠PFM+∠PMF=90°,
∵EM⊥FM,
∴∠EMF=90°,
∴∠EMQ+∠PMF=90°,
∴∠PFM=∠EMQ,
∵∠EFM=45°
∴△EFM是等腰直角三角形
∴FM=ME,
∵∠FPM=∠EQM=90°,
∴△FPM≌△MQE,
∴PF=MQ,PM=EQ,
由題意得:OF=BE=t,
∵M(x,y),
∴P(0,y),F(0,t),E(2+t,6),Q(2+t,y),
∴PF=t-y,MQ=2+t-x,
∴PM=x,EQ=6-y,
∴$\left\{\begin{array}{l}{t-y=2+t-x}\\{6-y=x}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x-y=2}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$,
∴M(4,2),
∴OM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$;

(3)如圖3,設AB的解析式為:y=kx+b
把A(10,0),B(2,6)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$,
∴AB的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$,
①當BM為邊時,如圖3,
∵四邊形BMHG是平行四邊形,
∴MH∥AB,
設MH的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+b,
把M(4,2)代入得:2=-$\frac{3}{4}$×4+b,
b=5,
∴MH的解析式為:y=-$\frac{3}{4}$x+5,
當y=0時,-$\frac{3}{4}$x+5=0,
x=$\frac{20}{3}$,
∴H($\frac{20}{3}$,0),
根據B與M的平移規律、G與H的平移規律相同得:G($\frac{14}{3}$,4);
②當BM為對角線時,如圖4,根據B與G的平移規律與B與G′的平移規律相同,
得:B(2,6),G($\frac{14}{3}$,4);
∴G′(-$\frac{2}{3}$,8),
綜上所述,G的坐標為:($\frac{14}{3}$,4)或(-$\frac{2}{3}$,8).

點評 本題是四邊形的綜合題,考查了直角梯形的定義、矩形和平行四邊形的性質和判定、三角形全等的性質和判定、勾股定理、平移規律等知識,第2問有難度,作輔助線構建全等三角形是關鍵,第三問與一次函數相結合,利用解析式和方程組解決問題,明確兩直線平行時,一次項的系數k相等.

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A.12B.10C.16D.20

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