Question

如圖，已知：在⊙O中，直徑AB=4，點E是OA上任意一點，過E作弦CD⊥AB，點F是上一點，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD．
（1）求證：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH•AF與AE•AB的數量關系，并說明你的猜想；
（3）探究：當點E位于何處時，S_△AEC：S_△BOD=1：4，并加以說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂徑定理得到弧AC=弧AD，再根據圓周角定理的推論得到∠F=∠ACH，根據兩個角對應相等證明兩個三角形相似；
（2）連接BF，構造直角三角形，把要探索的四條線段放到兩個三角形中，根據相似三角形的判定和性質證明；
（3）根據三角形的面積公式，得到兩個三角形的面積比即為AE：OB，進一步轉化為AE：AO的比，再根據半徑的長求得OE的長．
解答：（1）證明：∵直徑AB⊥CD，
∴，
∴∠F=∠ACH，
又∠CAF=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC．

（2）解：AH•AF=AE•AB．
證明：連接FB，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
又∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴，
∴AH•AF=AE•AB．

（3）解：當時，S_△AEC：S_△BOD=1：4．
理由：∵直徑AB⊥CD，
∴CE=ED，
∵S_△AEC=AE•EC，
S_△BOD=OB•ED，
∴===，
∵⊙O的半徑為2，
∴，
∴8-4OE=2，
∴OE=．
即當點E距離點O 時S_△AEC：S_△BOD=1：4．
點評：能夠綜合運用垂徑定理和圓周角定理的推論得到有關的角相等．掌握相似三角形的判定和性質．