Question

12．如圖，點P（1，2），⊙P經過原點O，交y軸正半軸于點A，點B在⊙P上，∠BAO=45°，則點B的坐標是（3，1）或（-1，3）．

Answer 1

分析 作輔助線，先利用勾股定理求圓P的半徑為$\sqrt{5}$，根據已知中的∠BAO=45°可知，兩個滿足條件的點B的連線就是圓P的直徑，由此證明△B₁OG≌△B₂OH，設B₁（x，y），則OG=x，B₁G=y，從而列方程組可求出x、y的值，寫出符合條件的點B的坐標．

解答 解：連接OP，過P作PE⊥x軸于E，
∵P（1，2），
∴OE=1，PE=2，
由勾股定理得：OP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
過A作MN⊥y軸，分別作∠MAO、∠NAO的平分線交⊙P于B₁、B₂，
則∠B₁AO=45°，∠B₂AO=45°，
∴∠B₂AB₁=90°，
連接B₁B₂，則B₁B₂是⊙P的直徑，即過點P，
∴B₁B₂=2$\sqrt{5}$，
∴∠B₂OB₁=90°，
∵∠OB₂B₁=∠B₁AO=45°，
∴△B₁B₂O是等腰直角三角形，
∴OB₁=OB₂=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{10}$，
過B₁作B₁G⊥x軸于G，過B₂作B₂H⊥y軸于H，
∴∠OGB₁=∠OHB₂=90°，
∵∠GOB₁+∠AOB₁=90°，∠B₂OH+∠AOB₁=90°，
∴∠GOB₁=∠B₂OH，
∴△B₁OG≌△B₂OH，
∴B₁G=B₂H，OG=OH，
設B₁（x，y），則OG=x，B₁G=y，
∵∠B₂AO=45°，
∴△AB₂H是等腰直角三角形，
∴B₂H=AH=B₁G=y，
∴AO=AH+OH=x+y=4，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\sqrt{10}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴x=1，y=3不符合題意，舍去，
∴B₁（3，1），B₂（-1，3），
則點B的坐標為（3，1）或（-1，3），
故答案為：（3，1）或（-1，3）．

點評 本題考查了圓周角定理、坐標與圖形的性質，熟練掌握圓周角的相關定理是關鍵，注意確定滿足條件的點B，作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形，從而解決問題．