Question

17．拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-kx+k與直線y=2x-1的兩個交點距離最近時，k的取值為-1．

Answer 1

分析 設拋物線與直線的兩個交點為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），則y₁=2x₁-1，y₂=2x₂-1，由由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-kx+k}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$x²-kx+k=2x-1，可得x₁+x₂=2（k+2），x₁x₂=2（k+1），將其代入到d=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，可得d=$\sqrt{20（k+1）^{2}+20}$，據此可得k=-1時，d取得最小值．

解答 解：設拋物線與直線的兩個交點為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
其中y₁=2x₁-1，y₂=2x₂-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-kx+k}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}$x²-kx+k=2x-1，
即x²-2（k+2）x+2（k+1）=0，
∴x₁+x₂=2（k+2），x₁x₂=2（k+1），△=[-2（k+2）]²-4×1×2（k+1）≥0，即k²+2k+2≥0
∴k為全體實數，
則兩交點間的距離d=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（2{x}_{1}-1-2{x}_{2}+1）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+4（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{5[4（k+2）^{2}-8（k+1）]}$
=$\sqrt{20（k+1）^{2}+20}$，
∴當k=-1時，d取得最小值，最小值為1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查拋物線與直線的交點問題、兩點間的距離公式及二次函數的性質，根據題意得出兩點間的距離關于k的表達式是解題的關鍵．