Question

15．已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF．
（1）AC=4$\sqrt{2}$；
（2）如圖，當∠EAF被對角線AC平分時，∠FAC=22.5°°，∠AEC=22.5°°；
（3）如圖，當∠EAF繞點A旋轉的過程中，設CE=x，CF=y，求x與y的關系式．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質得出AD=DC=4且∠ADC=90°，再根據勾股定理得出AC的長；
（2）由∠FAE=45°且AC平分∠EAF可得∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°，再利用∠AEC=∠ACB-∠EAC可得答案；
（3）先證∠CAF=∠AEC，結合∠ACF=∠ACE=135°可證△ACF∽△ECA，得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$，即EC×CF=AC²=2AB²=32，從而得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=4，且∠ADC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$；

（2）∵∠FAE=45°，且AC平分∠EAF，
∴∠FAC=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠EAF=22.5°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠AEC=∠ACB-∠EAC=22.5°，
故答案為：22.5°，22.5°；

（3）如圖，

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴EC×CF=AC²=2AB²=32
∴xy=32．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質、正方形的性質、勾股定理、角平分線的定義，解本題的關鍵是判斷△ACF∽△ECA，也是本題的難點．