Question

6．如圖，正方形MNPQ網格中，每個小方格的邊長都相等，正方形ABCD的頂點在正方形MNPQ的4條邊的小方格頂點上．
（1）設正方形MNPQ網格內的每個小方格的邊長為1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面積；
②正方形ABCD的面積；
（2）設AQ=a，BQ=b，利用這個圖形中的直角三角形和正方形的面積關系，你能驗證已學過的哪一個數學公式或定理嗎？

Answer 1

分析 （1）①根據直角三角形的面積公式即可得出結果；
②由題意得出S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ，即可得出結果；
（2）顯然根據面積能夠驗證勾股定理以及完全平方公式．

解答 解：（1）①∵網格中每個小正方形的邊長為1，
由圖可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．
∴S_△ABQ=$\frac{1}{2}$AQ•BQ=6；同理S_△BCM=S_△CDN=S_△ADP=6．
②∵MQ=7，
∴S_{正方形MNPQ}=7²=49．
∴S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ=49-4×6=25．
（2）驗證勾股定理或完全平方公式．
驗證：在△BCM和△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=AQ}&{\;}\\{∠M=∠Q}&{\;}\\{CM=BQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ABQ（SAS），
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵MB=a，BQ=b，S_{正方形MNPQ}=S_{正方形ABCD}+4S_△ABQ
∴（a+b）²=a²+b²+4×$\frac{1}{2}$ab
即（a+b）²=a²+2ab+b²（完全平方公式）
或又∵S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ
∴AB²=（a+b）²-4×$\frac{1}{2}$ab，即AB²=a²+b²．
設AB=c，得c²=a²+b²（勾股定理）．

點評 本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質以及面積的計算、三角形面積的計算、完全平方公式；掌握正方形和三角形面積的計算方法是解決問題的關鍵．