Question

3．在△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，AC=2，BC邊上的高AD=$\sqrt{3}$，如果有一個正方形的一邊在AB上，另外兩個頂點分別為AC，BC上，則這個正方形的邊長是3-$\sqrt{3}$或$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 根據條件顯然有兩種情況，由相似三角形的性質和勾股定理即可得出結果．

解答 解：根據條件顯然有兩種情況，如圖，
（1）在圖（1）中，BC=4時，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
設正方形邊長為x，如圖（3）所示：
∵$\frac{EG}{AC}=\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$，
解得x=3-$\sqrt{3}$；
（2）在圖（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．
在圖（4）中，當BC=2時，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，
此時內接正方形h是△ABC的AB邊上的高，
h=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
設正方形邊長為x，由△HGC∽△ABC得，$\frac{HG}{AB}=\frac{hx}{h}$，即
$\frac{x}{2\sqrt{3}}=\frac{1-x}{x}$，
解得x=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$；
故答案為：3-$\sqrt{3}$或$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，掌握的作出圖形是解題的關鍵．