Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接BC、AC，作OD∥BC，與過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E
（1）求證：△DAC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再利用OD∥BC得到OD⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得到結(jié)論；
（2）連接OC，設(shè)OD交AC于點(diǎn)F，則可求得OF和CF，利用△COF∽△DCF，可求得DC

解答 （1）證明：
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴△DAC是等腰三角形；
（2）解：
連接OC，設(shè)OD交AC于點(diǎn)F，

∵O、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵OD⊥AC，
∴CF=$\sqrt{O{C}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∵∠CFO=∠DCO=90°，∠DOC=∠COF，
∴△COF∽△DOC，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{OF}{OC}$，即$\frac{4}{CD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的判定，掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑和切線(xiàn)垂直是解題的關(guān)鍵，注意在直角三角形中勾股定理的應(yīng)用．