Question

17．如圖四邊形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DF⊥AC，垂足為F．DF與AB相交于E．設AB=15，BC=9，P是射線DF上的動點．當△BCP的周長最小時，DP的長為12.5．

Answer 1

分析 先根據△ABC是直角三角形可求出AC的長，再根據AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=$\frac{1}{2}$AC，故點C關于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，再根據DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的對應邊成比例可得出AE的長，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的長．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=$\frac{1}{2}$AC=6，
∴點C關于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{6}{12}$=$\frac{AE}{15}$，解得AE=$\frac{15}{2}$，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{15}{2}}{9}$=$\frac{DE}{15}$，解得DE=12.5，即DP=12.5．
故答案為：12.5．

點評 本題考查的是軸對稱-最短線路問題及相似三角形的判定與性質，根據軸對稱的性質得出DE=DP是解答此題的關鍵．