Question

4．如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標
（1）當k=2時，求炮彈飛行的最大海拔高度；
（2）若炮彈飛行的最大射程為5千米時，求k的值；
（3）炮彈的最大射程為$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$千米（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）根據k的值，然后將函數關系式化為頂點式即可解答本題；
（2）由題意可知y=0，x=5時的看的值，即為本題所求的k的值；
（3）根據函數關系式可以求得炮彈的最大射程．

解答 解：（1）當k=2時，
y=2x-$\frac{1}{20}（1+{2}^{2}）{x}^{2}$=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+2x$=$-\frac{1}{4}（x-4）^{2}+4$，
∴當x=4時，y取得最大值，此時y=4，
即當k=2時，炮彈飛行的最大海拔高度是4千米；
（2）當x=5，y=0時，
0=k×5-$\frac{1}{20}（1+{k}^{2}）×{5}^{2}$，
解得，${k}_{1}=2+\sqrt{3}$，${k}_{2}=2-\sqrt{3}$，
即k的值是$2+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$；
（3）當y=0時，
0=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²，
解得，x₁=0，x₂=$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$，
∴炮彈的最大射程為$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$千米，
故答案為：$\frac{20k}{1+{k}^{2}}$．

點評 本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的頂點式求函數的最值，運用數形結合的思想解答相關問題．