Question

拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D（-1，2），與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：

①b2-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根．

其中正確結論的個數為（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

Answer 1

C.

【解析】

試題分析：由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac＞0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=-1時，二次函數有最大值為2，即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根．

試題解析：∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac＞0，所以①錯誤；

∵頂點為D（-1，2），

∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，

∵拋物線與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，

∴當x=1時，y＜0，

∴a+b+c＜0，所以②正確；

∵拋物線的頂點為D（-1，2），

∴a-b+c=2，

∵拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，

∴b=2a，

∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正確；

∵當x=-1時，二次函數有最大值為2，

即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根，所以④正確．

故選：C．

考點：二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點．