Question

14．在數軸上，把表示數1的點稱為基準點，記作點$\stackrel{•}{O}$．對于兩個不同的點M和N，若點M、點N到點$\stackrel{•}{O}$的距離相等，則稱點M與點N互為基準變換點．例如：圖1中，點M表示數-1，點N表示數3，它們與基準點$\stackrel{•}{O}$的距離都是2個單位長度，點M與點N互為基準變換點．
（1）已知點A表示數a，點B表示數b，點A與點B互為基準變換點．
①若a=0，則b=2；若a=4，則b=-2；
②用含a的式子表示b，則b=2-a；
（2）對點A進行如下操作：先把點A表示的數乘以$\frac{5}{2}$，再把所得數表示的點沿著數軸向左移動3個單位長度得到點B．若點A與點B互為基準變換點，則點A表示的數是$\frac{10}{7}$；
（3）點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度．對P、Q兩點做如下操作：點P沿數軸向右移動k（k＞0）個單位長度得到P₁，P₂為P₁的基準變換點，點P₂沿數軸向右移動k個單位長度得到P₃，P₄為P₃的基準變換點，…，依此順序不斷地重復，得到P₅，P₆，…，P_n．Q₁為Q的基準變換點，將數軸沿原點對折后Q₁的落點為Q₂，Q₃為Q₂的基準變換點，將數軸沿原點對折后Q₃的落點為Q₄，…，依此順序不斷地重復，得到Q₅，Q₆，…，Q_n．若無論k為何值，P_n與Q_n兩點間的距離都是4，則n=4或12．

Answer 1

分析 （1）①根據互為基準變換點的定義可得出a+b=2，代入數據即可得出結論；②根據a+b=2，變換后即可得出結論；
（2）設點A表示的數為x，根據點A的運動找出點B，結合互為基準變換點的定義即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）根據點P_n與點Q_n的變化找出變化規律“P_4n=m、Q_4n=m+8-4n”，再根據兩點間的距離公式即可得出關于n的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．

解答 解：（1）①∵點A表示數a，點B表示數b，點A與點B互為基準變換點，
∵a+b=2．
當a=0時，b=2；當a=4時，b=-2．
故答案為：2；-2．
②∵a+b=2，
∴b=2-a．
故答案為：2-a．
（2）設點A表示的數為x，
根據題意得：$\frac{5}{2}$x-3+x=2，
解得：x=$\frac{10}{7}$．
故答案為：$\frac{10}{7}$．
（3）設點P表示的數為m，則點Q表示的數為m+8，
由題意可知：P₁表示的數為m+k，P₂表示的數為2-（m+k），P₃表示的數為2-m，P₄表示的數為m，P₅表示的數為m+k，…，
Q₁表示的數為-m-6，Q₂表示的數為m+6，Q₃表示的數為-m-4，Q₄表示的數為m+4，Q₅表示的數為-m-2，Q₆表示的數為m+2，…，
∴P_4n=m，Q_4n=m+8-4n．
令|m-（m+8-4n）|=4，即|8-4n|=4，
解得：4n=4或4n=12．
故答案為：4或12．

點評 本題考查了規律型中圖形的變化類、數軸以及解一元一次方程，根據互為基準變換點的定義找出a+b=2是解題的關鍵．