Question

10．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連結EF．
（1）試說明DE+BF=EF：
解：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴點G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．
（2）類比引申：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系∠B+∠D=180°時，有EF=BE+DF．并寫出推理過程．

Answer 1

分析 （1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，根據(jù)全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，證出△AFG≌△AFE即可；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，根據(jù)全等得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，求出∠FAG=∠FAE，證出△AFG≌△AFE即可；

解答 解：（1）將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉可得AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．
∴點G、B、F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°，∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
∴∠GAF=∠EAF．
又∵AG=AE，AF=AF．
∴△GAF≌△EAF．
∵GF=EF．
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．
故答案為：EAF，△EAF，GF；

（2）
當∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，
理由是：∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°，
∴∠FAG=∠FAE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFG和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF=FG=BE+DF，
故答案為：∠B+∠D=180°；

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，等腰直角三角形的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，證明過程類似．