Question

8．如圖，平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，1）、（-1，1），把正方形ABCD繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′C′D′，則正方形ABCD與正方形A′B′C′D′重疊部分形成的正八邊形的邊長(zhǎng)為（　　）

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$-2
• C． 4-2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 如圖，首先求出正方形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線長(zhǎng)；進(jìn)而求出OA′的長(zhǎng)；證明△A′MN為等腰直角三角形，求出A′N(xiāo)的長(zhǎng)度；同理求出D′M′的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，由題意得：
正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴該正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
∴OA′=$\sqrt{2}$；而OM=1，
∴A′M=$\sqrt{2}$-1；
由題意得：∠MA′N(xiāo)=45°，∠A′MN=90°，
∴∠MNA′=45°，
∴MN=A′M=$\sqrt{2}$-1；
由勾股定理得：A′N(xiāo)=2-$\sqrt{2}$；
同理可求D′M′=2-$\sqrt{2}$，
∴NM'=2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
∴正八邊形的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$-2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．