Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標；

（3）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△PAB=8，并求出此時P點的坐標．

Answer 1

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．

【分析】（1）由于拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，那么可以得到方程x²+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，然后利用根與系數(shù)即可確定b、c的值．

（2）根據(jù)S_△PAB=8，求得P的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得P點的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴方程x²+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函數(shù)解析式是y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵y=﹣x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴拋物線的對稱軸x=1，頂點坐標（1，﹣4）．

（3）設P的縱坐標為|y_P|，

∵S_△PAB=8，

∴AB•|y_P|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|y_P|=4，

∴y_P=±4，

把y_P=4代入解析式得，4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把y_P=﹣4代入解析式得，﹣4=x²﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴點P在該拋物線上滑動到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）時，滿足S_△PAB=8．

【點評】此題主要考查了利用拋物線與x軸的交點坐標確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱軸點的坐標以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標特征，解題的關鍵是利用待定系數(shù)法得到關于b、c的方程，解方程即可解決問題．