Question

2．已知實數a，b，c滿足a+b=ab=c，有下列結論：
①若c≠0，則$\frac{a-3ab+b}{2a+7ab+2b}$=-$\frac{2}{9}$；
②若a=3，則b+c=9；
③若c≠0，則（1-a）（1-b）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$；
④若c=5，則a²+b²=15．
其中正確的是①③④（把所有正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①由題意可知：a+b=ab=c≠0，將原式變形后將a+b整體代入即可求出答案．
②由題意可知：a=3，b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{9}{2}$，由此即可判斷．
③分別計算（1-a）（1-b）和$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．
④由于a+b=ab=5，聯立方程可知△＞0，所以由完全平方公式即可求出a²+b²的值．

解答 解：①∵c≠0，
∴ab≠0
∵a+b=ab，
∴原式=$\frac{a+b-3ab}{2（a+b）+7ab}$=$\frac{ab-3ab}{2ab+7ab}$=$\frac{-2ab}{9ab}$=-$\frac{2}{9}$
故①正確；
②∵a=3，
∴b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{9}{2}$，
∴b+c=6，
故②錯誤；
③∵c≠0，
∴ab≠0，
∵a+b=ab
∴（1-a）（1-b）=1-b-a+ab=1，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$=1，
∴（1-a）（1-b）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$，故③正確；
④∵c=5，
∴a+b=ab=5，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{a+b=5}\\{ab=5}\end{array}\right.$，
化簡可得：b²-5b+5=0，
∵△＞0，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=15，故④正確
故答案為：①③④

點評 本題考查學生的運算能力，解題的關鍵是熟練運用分式與整式的運算法則，本題屬于中等題型．