Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，點D在邊AC上，連接BD，過A作BD的垂線交BD的延長線于點E．

（1）若M，N分別為線段AB，EC的中點，如圖1，求證：MN⊥EC；

（2）如圖2，過點C作CF⊥EC交BD于點F，求證：AE＝2BF；

（3）如圖3，以AE為一邊作一個角等于∠BAC，這個角的另一邊與BE的延長線交于P點，O為BP的中點，連接OC，求證：OC＝（BE﹣PE）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接EM、CM，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三線合一的性質得出結論；

（2）證明△AEC∽△BFC，得由AC＝2BC得AE＝2BF；

（3）證明△ACB∽△AEP，得從而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得OC＝EF，代入得結論．

證明：（1）如圖1，連接EM、CM，

∵AE⊥BE，M是AB的中點，

∴EM＝AB，CM＝AB，

∴EM＝CM，

∵N是EC的中點，

∴MN⊥EC；

（2）如圖2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，

∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，

∴∠ECA＝∠FCB，

∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，

∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，

∴∠CFB＝∠AEC，

∴△AEC∽△BFC，

∴

∵AC＝2BC，

∴AE＝2BF；

（3）如圖3，過點C作CF⊥EC交BD于點F，

∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAE，

∴△ACB∽△AEP，

∴

∵AC＝2BC，

∴AE＝2PE，

∵AE＝2BF，

∴PE＝BF，

∵O為BP的中點，

∴PO＝BO，

∴EO＝FO，

∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．