Question

15．如果，矩形ABCD中，點E在AB上，點F在CD上，點G，H在對角線AC上，且CH=AG，CF=AE．
（1）求證：△AGE≌△CHF；
（2）若AB=8，AD=4，且GH恰好平分∠FGE，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質得出AB∥CD，求出∠FCH=∠EAG，根據SAS推出全等即可；
（2）連接AF，求出△FGA≌△FHC，根據全等三角形的性質得出FC=FA，設FC=x，則FA=x，FD=8-x，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 （1）證明：∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
在△AGE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠EAG=∠FCH}\\{AE=CF}\end{array}\right.$
∴△AGE≌△CHF（SAS）；

（2）解：連接AF，
∵GH平分∠FGE，
∴∠FGH=∠EGH，
∵FH∥GE，
∴∠EGH=∠FHG，
∴∠FGH=∠FHG，
∴FG=FH，∠FGA=∠FHC，
在△FGA和△FHC中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠FGA=∠FHC}\\{FG=FH}\end{array}\right.$
∴△FGA≌△FHC（SAS），
∴FC=FA，
設FC=x，則FA=x，FD=8-x，
在Rt△ADF中，x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
即CF的長為5．

點評 本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．