Question

10．（1）如圖，將正方形ABCD與正方形ECGF（CE＜AB）拼接在一起，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM、ME，試證明：DM=ME；
（2）如圖2，若將正方形CEFG繞著頂點C逆時針旋轉45°，其他條件不變，那么（1）中的結論是否成立？若成立請說明理由，若不成立請直接寫出你發現的結論；
（3）若將正方形CEFG由圖1中的位置繞著頂點C逆時針旋轉90°，其他條件不變，請你在圖3中畫出完整的旋轉后的圖形，并判定（1）中的結論是否成立．

Answer 1

分析 （1）延長EM交AD于H，證明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根據直角三角形的性質得到HM=EM，等量代換得到答案；
（2）根據正方形的性質得到點A、E、C在同一條直線上，根據直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半證明即可；
（3）根據題意畫出完整的圖形，根據平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質證明即可．

解答 解：（1）如圖1，延長EM交AD于H，
∵AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠HAM}\\{FM=AM}\\{∠FME=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH，
∴HM=EM，
∵∠HDE=90°，HM=EM，
∴DM=ME；
（2）如圖2，連接AE，
∵四邊形ABCD和四邊形ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠CAD=45°，
∴點A、E、C在同一條直線上，
∵∠ADF=90°，∠AEF=90°，M為AF的中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，EM=$\frac{1}{2}$AF，
∴DM=ME；
（3）如圖3，是畫出的完整的旋轉后的圖形，
連接CF，MG，作MN⊥CD于N，
在△ECM和△GCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=GC}\\{∠ECM=∠GCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ECM≌△GCM，
∴ME=MG，
∵M為AF的中點，FG∥MN∥AD，
∴GN=ND，又ME=MG，
∴MD=MG，
∴MD=ME，
∴（1）中的結論成立．

點評 本題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定定理和性質定理以及直角三角形的性質，靈活運用相關的定理、正確作出輔助線是解題的關鍵．