Question

9．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），若點Q的坐標為（x，|x-y|），則稱點Q為點P的“關聯點”．
（1）請直接寫出點（2，2）的“關聯點”的坐標；
（2）如果點P在函數y=x-1的圖象上，其“關聯點”Q與點P重合，求點P的坐標；
（3）如果點M（m，n）的“關聯點”N在函數y=x²的圖象上，當0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據“關聯點”的定義結合點的坐標即可得出結論；
（2）根據點P在函數y=x-1的圖象上，即可得出P（x，x-1）、Q（x，1），再根據點P、Q重合即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）根據“關聯點”的定義找出點N的坐標，分m≥n和m＜n兩種情況考慮，根據點N在函數y=x²的圖象上，即可用含m的代數式表示出n，再根據兩點間的距離公式即可找出MN的關系式，利用一次（二次）函數的性質即可求出線段MN的最大值．

解答 解：（1）∵|2-2|=0，
∴點（2，2）的“關聯點”的坐標為（2，0）．
（2）∵點P在函數y=x-1的圖象上，
∴P（x，x-1），則點Q的坐標為（x，1），
∵點Q與點P重合，
∴x-1=1，解得：x=2，
∴點P的坐標為（2，1）．
（3）∵點M（m，n），
∴點N（m，|m-n|）．
∵點N在函數y=x²的圖象上，
∴|m-n|=m²．
（i）當m≥n時，m-n=m²，
∴n=-m²+m，
∴M（m，-m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|-m²+m-m²|=m|2m-1|．
①當0≤m≤$\frac{1}{2}$時，MN=-2m²+m=-2$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
∴當m=$\frac{1}{4}$時，MN取最大值，最大值為$\frac{1}{8}$．
②當$\frac{1}{2}$＜m≤2時，MN=2m²-m=2$（x-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
當m=2時，MN取最大值，最大值為6．
（ii）當m＜n時，n-m=m²，
∴n=m²+m，
∴M（m，m²+m），N（m，m²）．
∵0≤m≤2，
∴MN=|y_M-y_N|=|m²+m-m²|=m，
當m=2時，MN取最大值2．

點評 本題考查了二次函數的性質、一次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象上點的坐標特征以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）根據“關聯點”的定義找出點的關聯點；（2）根據點P、Q重合找出關于x的一元一次方程；（3）用含m的代數式表示出n．