Question

11．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=3，CA=7，I為△ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交AB于點D．記△CAI的面積為m，△DAI的面積為n，則$\frac{m}{n}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 由I為△ABC的內(nèi)心知，AI是△ACD的角平分線，BI是△BCD的角平分線，根據(jù)角平分線定理得出$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，利用三角形的面積公式可知同高的兩個三角形面積之比等于底邊之比，得到$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，再由等比定理得出$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI是△ACD的角平分線，BI是△BCD的角平分線，
∴$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，
∵$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了角平分線定理，三角形的面積，等比定理．