Question

3．如圖，一次函數y=-x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，點M在x軸上，要使△ABM是以AB為腰的等腰三角形，那么點M的坐標是（$\sqrt{2}$+1，0）、（-$\sqrt{2}$+1，0）或（-1，0）．

Answer 1

分析 分別令一次函數y=-x+1中x=0、y=0，求出點A、B的坐標，設出點M的坐標，根據兩點間的距離公式表示出AB、AM和BM的長度，分AB=BM與AB=AM兩種情況來考慮，由此可得出關于m的方程，解關于m的方程即可得出結論．

解答 解：令一次函數y=-x+1中y=0，則-x+1=0，
解得：x=1，
∴點A的坐標為（1，0）；
令一次函數y=-x+1中x=0，則y=1，
∴點B的坐標為（0，1）．
設點M的坐標為（m，0），則AB=$\sqrt{2}$，AM=|m-1|，BM=$\sqrt{（0-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，
△ABM是以AB為腰的等腰三角形分兩種情況：
①AB=AM，即$\sqrt{2}$=|m-1|，
解得：m=$\sqrt{2}$+1，或m=-$\sqrt{2}$+1，
此時點M的坐標為（$\sqrt{2}$+1，0）或（-$\sqrt{2}$+1，0）；
②AB=BM，即$\sqrt{2}$=$\sqrt{（0-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，
解得：m=-1，或m=1（舍去），
此時點M的坐標為（-1，0）．
綜上可知點M的坐標為（$\sqrt{2}$+1，0）、（-$\sqrt{2}$+1，0）或（-1，0）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是分AB=BM與AB=AM兩種情況來考慮．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，有兩點間的距離公式表示出三角形三邊長度，再根據等腰三角形的性質找出關于m的方程是關鍵．