Question

6．在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處（如圖1）．
（1）如圖2，設折痕與邊BC交于點O，連接，OP、OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；
（2）動點M在線段AP上（不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN、CA，交于點F，過點M作ME⊥BP于點E．
①在圖1中畫出圖形；
②在△OCP與△PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發生變化？請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形△OCP∽△PDA的性質求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長；
（2）①根據題意作出圖形；
②由邊相等常常聯想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協調，可通過作平行線構造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長就可以求出EF長．

解答 解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA，
∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
設OP=x，則CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊AB的長為10；

（2）①作圖如下：
；

②作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖1．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMF=∠BNF}\\{∠QFM=∠BFN}\\{QM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB．
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB．
由（1）中的結論可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$．
∴當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定、矩形的性質、等腰三角形的性質和判定、勾股定理、特殊角的三角函數值等知識，綜合性比較強，而添加適當的輔助線是解決最后一個問題的關鍵．