Question

17．直線y=$\frac{2}{3}$x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，O是原點．
（1）求△AOB的面積；
（2）過△AOB的頂點能不能畫出直線把△AOB分成面積相等的兩部分？若能，可以畫幾條？寫出這樣的直線解析式．

Answer 1

分析 （1）分別令y=$\frac{2}{3}$x-3中x、y=0求出與之相對應的y、x的值，由此即可得出點B、A的坐標，再根據三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（2）分別取線段AB的中點C、OA的中點D、OB的中點E，連接OC、BD、AE即可得出把△AOB分成面積相等的兩部分的直線，根據點O、A、B的坐標即可得出點C、D、E的坐標，再由點的坐標利用待定系數法求出函數解析式即可．

解答 解：（1）令x=0，y=$\frac{2}{3}$x-3=-3，
∴點B的坐標為（0，-3）；
令y=$\frac{2}{3}$x-3=0，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴點A的坐標為（$\frac{9}{2}$，0）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$．
（2）能畫出三條，如圖所示．
∵點A（$\frac{9}{2}$，0），點B（0，-3），點O（0，0），
∴C（$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{2}$），D（$\frac{9}{4}$，0），E（0，-$\frac{3}{2}$）．
設直線OC的解析式為y=kx，
將點C（$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{2}$）代入y=kx，
-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$k，解得：k=-$\frac{2}{3}$，
∴直線OC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x；
同理可求出：直線BD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-3；直線AE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及待定系數法求一次函數解析式，根據三角形的面積公式確定把△AOB分成面積相等的兩部分的直線經過點的坐標是解題的關鍵．