Question

19．在△ABC中AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD，垂足為M，求證：AM=$\frac{1}{2}$（AB+CA）

Answer 1

分析 延長AM到E，使ME=AM，連接CE，求出AC=CE，求出DE=EC，即可得出答案．

解答 證明：延長AM到E，使ME=AM，連接CE，
則AE=2AM，
∵CM⊥AE，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAD=∠DAB，
∴AB∥EC，
∴∠B=∠ECD，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED，
∴AE=2AM=AD+ED=AB+AC．
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+CA）．

點評 本題考查了平行線的性質和判定，線段垂直平分線性質，等腰三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是推出DE=EC，題目比較好，但是有一定的難度．