Question

10．如圖1，在線段AB中，已知AD=2，DF=6，FB=1，有人想把線段A′C分成三段：A′E、EG、GC，使得A′E：EG：GC=2：6：1，他把線段AB移到A′B′的位置（即把A移到A′，把B移到B′），連接B′C，分別過F′、D′作D′E∥F′G∥B′C．

（1）若A′C=4.5，則EG=3，A′G=4；
（2）上述方法啟發我們可以解決下列問題：如圖2，已知△ABC和線段a，請用直尺與圓規作△A′B′C′，滿足：
①△A′B′C′∽△ABC；
②△A′B′C′的周長等于線段a的長度．（保留作圖痕跡，并寫出作圖步驟）

Answer 1

分析 （1）把A′C分成9份，然后利用比例的性質計算EG和A′G；
（2）先在射線OM上截取OD=a，再射線ON上依次截取OE=AB，EF=BC，FG=AC，再連結DG，分別過E、F作DG的平行線交OM于H、P，則根據平行線分線段成比例定理得到OH：HP：PD=OE：EF：FG，然后以OH、HP、PD為三邊作三角形A′B′C′，則利用相似三角形的判定可得到△A′B′C′∽△ABC．

解答 解：（1）EG=$\frac{6}{9}$A′C=$\frac{2}{3}$×4.5=3，A′G=$\frac{8}{9}$A′C=$\frac{8}{9}$×4.5=4；
故答案為3，4；
（2）如圖，
作法如下：
①作射線OM、ON，在射線OM上截取OD=a，再射線ON上依次截取OE=AB，EF=BC，FG=AC，
②連結DG，分別過E、F作DG的平行線交OM于H、P，
③作B′C′=HP，分別以B、C為圓心，OH、PD為半徑畫畫交于點A′，連結A′B′、A′C′，
則△A′B′C′為所作．

點評 本題考查了相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到．解決本題的關鍵是利用平行線分線段成比例定理把原三角形各邊縮小．