Question

3．如圖，已知直線y=mx+n與反比例函數y=$\frac{k}{x}$交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與x軸、y軸分別交點C、點D，AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F．
（1）直接寫出m、n、k的正負性；
（2）若m=1，n=3，k=4．求直線EF的解析式；
（3）寫出AC、BD龐的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據一次函數和反比例函數的性質即可直接作出判斷；
（2）解直線AB的解析式與反比例函數解析式組成的方程組，求得A和B的坐標，則E、F的坐標即可求得，利用待定系數法求解；
（3）求得A、B、C、D的坐標，則AE、EC以及FD和FB的長度即可求得，從而證明△AEC≌△DFB，根據全等三角形的對應邊相等證得AC=BD．

解答 解：（1）m＞0，n＞0，k＞0；
（2）直線AB的解析式是y=x+3，反比例函數的解析式是y=$\frac{4}{x}$．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
則A的坐標是（-4，-1），B的坐標是（3，$\frac{4}{3}$）．
則E的坐標是（-4，0），F的坐標是（0，$\frac{4}{3}$）．
設EF的解析式是y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
則直線EF的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$；
（4）AC=BD．
證明：根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
則mx+n=$\frac{k}{x}$，即mx²+nx-k=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}}\\{y=\frac{n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}}\\{y=\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}}\end{array}\right.$，
則A的坐標是（$\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$，$\frac{n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$），B的坐標是（$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$，$\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$）．
則AE=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+4mk}-n}{2}$，BF=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$．
在直線y=mx+n中，令x=0，解得y=n，則D的坐標是（0，n），則DF=$\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$-n=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$，
則在直線y=mx+n中，令y=0，解得x=-$\frac{n}{m}$．則C的坐標是（-$\frac{n}{m}$，0）．
則CE=-$\frac{n}{m}$-$\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$．
則AE=FD，EC=FB．
則△AEC≌△DFB，則AC=BD．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，以及全等三角形的判定與性質，正確利用m和n表示出AE、FD、EC以及FB的長是關鍵．