Question

11．若一個矩形長為m cm．寬為n cm，（m＞n）
（1）若這個矩形長增加2cm，寬增加2cm，則面積增加了18cm²；若這個矩形長減少1cm，寬增加1cm，則面積增加了2cm²，求$\frac{m}{n}$-$\frac{n}{m}$的值；
（2）若以m  cm為邊長的正方形與以n  cm為邊長的正方形的面積和是這個矩形面積的3倍，求$\frac{m}{n}$-$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （1）由面積上的變化關系列出關于m、n的方程組，解之得出m、n的值，再代入可得答案；
（2）根據題意得出m²+n²=3mn，變形可得m²+2mn+n²=5mn，m²-2mn+n²=mn，即（m+n）²=5mn，（m-n）²=mn，從而得出m+n=$\sqrt{5mn}$，m-n=$\sqrt{mn}$，再代入原式=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）（m-n）}{mn}$即可得．

解答 解：（1）根據題意知：$\left\{\begin{array}{l}{（m+2）（n+2）-mn=18}\\{（m-1）（n+1）-mn=2}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{m-n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=2}\end{array}\right.$，
則原式=$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{5}$=$\frac{21}{10}$；

（2）由題意知m²+n²=3mn，
則m²+2mn+n²=5mn，m²-2mn+n²=mn，
即（m+n）²=5mn，（m-n）²=mn，
∵m、n為矩形的邊長，均為正數，
∴m+n=$\sqrt{5mn}$，m-n=$\sqrt{mn}$，
則原式=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{（m+n）（m-n）}{mn}$
=$\frac{\sqrt{5mn}•\sqrt{mn}}{mn}$
=$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查分式的混合運算、二元一次方程組的應用、完全平方公式等知識點，根據面積上的相等關系列出方程組和對m²+n²=3mn利用完全平方公式變形得出m+n和m-n的值是解題的關鍵．