Question

17．如圖，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，D為垂足，△ABC∽△ACD∽△CBD，那么下列等式：①AC²=AD•AB；②CD²=AD•BD；③BC²=BD•AB；④AC•CB=BA•CD，其中正確的有①②③④．（填序號）

Answer 1

分析 由△ABC∽△ACD∽△CBD，根據相似三角形的對應邊成比例以及面積法即可求得答案．

解答 證明：∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AD•AB．
∵△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC²=BD•BA．
∵△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•DB，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
即∴AC•BC=AB•CD，
故①②③④正確，
故答案為①②③④．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的性質解決問題，學會利用面積法證明線段之間的關系，屬于中考常考題型．