Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是x軸上的一動點，且位于AB之間，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，設P點橫坐標為x，△PCE的面積為S，請求出S關于x的解析式，并求△PCE面積的最大值；
（3）點為D（-2，0），若點M是線段AC上一動點，是否存在M點，能使△OMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B兩點坐標代入解析式直接求出a、b即可；
（2）設出P點橫坐標，由于PE∥AC，則△BPE和△BAC相似，根據面積比是相似比的平方得出△BPE的面積表達式，用△PCB的面積減去△BPE的面積就是S，再利用配方法求最值即可；
（3）分兩種情況討論：①DO=DM；②MD=MO．

解答 解：（1）把點A（-4，0），B（2，0）分別代入中，得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴這個二次函數解析式為$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-4$，C（0，-4）；
（2）設P點坐標為（x，0），則BP=2-x，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}×6×4=12$
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BPE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BP}{BA}$）²，即：$\frac{{S}_{△BPE}}{12}$=（$\frac{2-x}{6}$）²，
∴${S}_{△BPE}=\frac{1}{3}（2-x）^{2}$，
又∵${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（2-x）×4=2（2-x）$，
∴S_△PCE=S_△BCP-S_△BPE=2（2-x）-$\frac{1}{3}（2-x）^{2}$=$-\frac{1}{3}（x+1）^{2}+3$，
∴x=-1時，△PCE面積有最大值為3；
（3）存在M點．①如圖，過點D作DM垂直x軸交AC于M，

∵A（-4，0），C（-4，0），
∴DM=AD=2=DO，
∴M（-2，-2）；
②如圖，設DO的中垂線交AC于點M，則MD=MO，

由A、C兩點坐標可知AC的解析式為y=-x-4，
將x=-1代入可得y=-3，
∴M（-1，-3）．
綜上所述，點M的坐標為（-1，-3）或（-2，-2）．

點評 本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，配方法求二次函數最值，待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形等知識點，綜合性較強，難度中等．對于第三問，分類討論是解答的關鍵．