Question

13．.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E為邊AC上的兩動點，以相同的速度D從A向C，E從C向A運動，AM⊥BD交BC于N，連NE并延長交BD延長線于F．

①說明∠ABD=∠NAC
②當D，E運動到如圖2所示的位置時，試作出圖形，并判斷FD與FE的數量關系，請寫出你的結論．（不要求證明）
③對圖1證明△FED為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據同角的余角相等可以得：∠ABD=∠NAC；
（2）如圖2作輔助線，構建全等三角形，利用ASA證明△ECN≌△PCN，得∠APC=∠NEC，再利用SAS證明△ECN≌△PCN，所以∠APC=∠NEC，則∠ADB=∠NEC，利用等角對等邊得：FD=FE；
（3）如圖1，同理可證明FD=FE，則△FED為等腰三角形．

解答 解：（1）如圖1，∵∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAN=90°，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=90°，
∴∠ABD+∠BAN=90°，
∴∠ABD=∠NAC；
（2）FD=FE，理由是：
如圖2，過C作CP⊥AC，交AN的延長線于P，
∴∠ACP=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠NAC=∠ABD，
∴△APC≌△BDA，
∴AD=PC，∠ADB=∠APC，
由題意得：AD=EC，
∴AD=EC=PC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠PCN=45°，
∴∠ACB=∠PCN，
∵NC=NC，
∴△ECN≌△PCN，
∴∠APC=∠NEC，
∴∠ADB=∠NEC，
∴FD=FE；
（3）如圖1，過C作CP⊥AC，交AN的延長線于P，
∴∠ACP=∠BAC=90°，
∵AB=AC，∠NAC=∠ABD，
∴△APC≌△BDA，
∴AD=PC，∠ADB=∠APC，
由題意得：AD=EC，
∴AD=EC=PC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠PCN=45°，
∴∠ACB=∠PCN，
∵NC=NC，
∴△ECN≌△PCN，
∴∠APC=∠NEC，
∴∠ADB=∠NEC，
∵∠ADB=∠FDE，∠NEC=∠FED，
∴∠FDE=∠FED，
∴FD=FE；
∴△FED為等腰三角形．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、等腰三角形、全等三角形的性質和判定，本題主要利用證明兩個三角形全等來證明邊相等或角相等，從而解決問題．