Question

15．已知∠MAN=120°，點C是∠MAN的平分線AQ上的一個定點，點B，D分別在AN，AM上，連接BD．
【發現】
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，則∠BCD=60°，△CBD是等邊三角形；
【探索】
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，請判斷△CBD的形狀，并證明你的結論；
【應用】
（3）如圖3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若點G，H分別在射線OE，OF上，且△PGH為等邊三角形，則滿足上述條件的△PGH的個數一共有④．（只填序號）
①2個 ②3個 ③4個 ④4個以上

Answer 1

分析 （1）利用四邊形的內角和即可得出∠BCD的度數，再利用角平分線的性質定理即可得出CB，即可得出結論；
（2）先判斷出∠CDE=∠ABC，進而得出△CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四邊形的內角和即可得出∠BCD=60°即可得出結論；
（3）先判斷出∠POE=∠POF=60°，先構造出等邊三角形，找出特點，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，
根據四邊形的內角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，
∵AC是∠MAN的平分線，CD⊥AM．CB⊥AN，
∴CD=CB，（角平分線的性質定理），
∴△BCD是等邊三角形；
故答案為：60，等邊；
（2）如圖2，同（1）得出，∠BCD=60°（根據三角形的內角和定理），
過點C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分線，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠ABC}\\{∠CED=∠CFB=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等邊三角形；
（3）如圖3，∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，連接PG'，
∴△G'OP是等邊三角形，此時點H'和點O重合，
同理：△OPH是等邊三角形，此時點G和點O重合，
將等邊△PHG繞點P逆時針旋轉到等邊△PG'H'，在旋轉的過程中，
邊PG，PH分別和OE，OF相交（如圖中G''，H''）和點P圍成的三角形全部是等邊三角形，（旋轉角的范圍為（0°到60°包括0°和60°），
所以有無數個；
理由：同（2）的方法．
故答案為④．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義和角平分線定理，等邊三角形的判定，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵，（3）判斷三角形PHG是等邊三角形的個數是解本題難點．