Question

10．如圖，⊙O的直徑AB=6，AM和BN是它的兩條切線，DC與⊙O相切于點E，并與AM、BN分別相交于D、C兩點，當1≤BC≤3時，AD的取值范圍是3≤AD≤9．

Answer 1

分析 連接OD、OE、OC，根據切線長定理可知DO、CO平分∠ADC、∠DCB，從而可知∠DOC=90°，然后證明△ODE∽△COE，利用相似三角形的性質即可求出OE²=CE•DE．

解答 解：∵AM、BN、CD是⊙O的兩條切線，
∴DO、CO分別平分∠ADC、∠DCB，
AD=DE，BC=CE
∴∠ODC+∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠DCB）
∵AD∥BC，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE+∠COE=∠COE+∠OCE=90°
∴∠DOE=∠OCE
∴△ODE∽△OCE
∴OE²=CE•ED
∵OE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴9=CE•ED=AD•BC
∴AD=$\frac{9}{BC}$
∵1≤BC≤3
∴3≤AD≤9
故答案為：3≤AD≤9

點評 本題考查切線長的性質，解題的關鍵是連接OE、OC、OD證明△ODE∽△COE，本題屬于中等題型．