Question

如圖，已知線段OA₁=1，過點A₁作A₁A₂⊥OA₁，且A₁A₂=1，連接OA₂，再過點A₁作A₂A₃⊥OA₂，且A₂A₃=1，連接OA₃，如此作出線段A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，也得到了n條線段OA₁，OA₂，OA₃，…OA_n．
猜想與證明：
（1）計算OA₂=

 

；計算OA₃=

 

；計算OA₄=

 

．
（2）根據以上計算，請猜想OA_n的長度（用含n的代數式表示），并證明你的猜想．
探究與證明：
（1）利用上面的結論，可得，當OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_nA_n+1=3時，OA_n的長度（用含n的代數式表示）為

 

；
（2）若OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=a時，請猜想OA_n的長度（用含a，n的代數式表示），并證明你的猜想．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：規律型

分析：猜想與證明：
（1）運用勾股定理直接計算，即可解決問題．
（2）類比（1）中的結論，可以猜測：OA_n=

n

；首先證明OAn-1=

n-1

，進而得到OAn=

( n-1 )2+12

=

n-1+1

=

n

．
探究與證明：
（1）OA_n=3

n

．
（2）猜測：OA_n的長度=a

n

．首先證明：OAn-12=(n-1)a2，運用勾股定理得到OAn2=(n-1)a2+a2
=na²，即可解決問題．

解答： 解：猜想與證明：
（1）根據勾股定理得：OA₂=

12+12

=

2

；OA₃=

( 2 )2+12

=

3

；OA₄=

( 3 )2+12

=2；
故答案為：

2

；

3

；2．
（2）猜想OA_n=

n

；故答案為

n

．
證明如下：由題意得，OAn-1=

n-1

，
故OAn=

( n-1 )2+12

=

n-1+1

=

n

．
探究與證明：
（1）當OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…A_nA_n+1=3時，OA_n=3

n

，
故答案為3

n

．
（2）當OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=a時，請猜想OA_n的長度=a

n

．
證明：∵OAn-12=(n-1)a2，
∴OAn2=(n-1)a2+a2=na²，
∴OAn=a

n

．

點評：該題主要考查了勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握勾股定理的內容，靈活運用勾股定理來解題．