Question

17．如圖，二次函數y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點A（-4，0）．
（1）求拋物線與直線AC的函數解析式；
（2）若點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形OCDA的面積為S，求S關于m的函數關系；
（3）若點E為拋物線上任意一點，點F為x軸上任意一點，當以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據A，C兩點的坐標，可求得直線AC的函數解析式；
（2）先過點D作DH⊥x軸于點H，運用割補法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據此列式計算化簡就可求得S關于m的函數關系；
（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點E與點C的縱坐標之間的關系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點E的坐標．

解答 解：（1）∵A（-4，0）在二次函數y=ax²-$\frac{3}{2}$x+2（a≠0）的圖象上，
∴0=16a+6+2，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
∴點C的坐標為（0，2），
設直線AC的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數解析式為：$y=\frac{1}{2}x+2$；

（2）∵點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，
∴D（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
過點D作DH⊥x軸于點H，則DH=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，
∴S=$\frac{1}{2}$（m+4）×（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2+2）×（-m），
化簡，得S=-m²-4m+4（-4＜m＜0）；

（3）①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，
∴|y_E|=|y_C|=2，
∴y_E=±2．
當y_E=2時，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=2得，
x₁=0，x₂=-3，
∴點E的坐標為（-3，2）；
當y_E=-2時，解方程-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=-2得，
x₁=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，
∴點E的坐標為（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；

②若AC為平行四邊形的一條對角線，則CE∥AF，
∴y_E=y_C=2，
∴點E的坐標為（-3，2）．
綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（-3，2）、（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，-2）、（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了運用待定系數法求出直線及拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征、解一元二次方程、平行四邊形的性質、拋物線的性質等知識的綜合應用，運用割補法及配方法是解決問題的關鍵，解題時注意運用分類討論的思想．