Question

5．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O為AB邊中點，將△ABC繞點O逆時針旋轉60°至△EDA位置，連接CD．
（1）求證：OD⊥BC；
（2）求證：四邊形AODC為菱形．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質得出∠DOB=60°．再由已知條件得出∠OFB=90°即可；
（2）證出AC∥OD，連接OC，得出OA=OC=OB，由旋轉可知：OD=OB，因此OA=OC=OB=OD，證出△AOC為等邊三角形，得出AC=OA，因此AC=OD，證出四邊形AODC是平行四邊形，再由OA=OD，即可得出四邊形AODC是菱形．

解答 （1）證明：由旋轉的性質可知：∠DOB=60°．
∵∠B=30°，
∴∠OFB=90°，
∴OD⊥BC；
（2）證明：由（1）知∠OFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OFB，
∴AC∥OD，
在Rt△ABC中，O為AB邊中點，
連接OC，如圖所示：
∴OA=OC=OB由旋轉可知：OD=OB，
∴OA=OC=OB=OD，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°
∴△AOC為等邊三角形，
∴AC=OA，
∵OA=OD，
∴AC=OD，
∵AC∥OD，
∴四邊形AODC是平行四邊形，
又∵OA=OD，
∴四邊形AODC是菱形．

點評 本題考查了旋轉的性質、平行四邊形的判定、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定等知識；熟練掌握旋轉的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題（2）的關鍵．