Question

10．如圖，已知菱形ABCD的周長為16cm，AE垂直平分BC，垂足為E
（1）求對角線BD的長；
（2）求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABC是等腰三角形，得出AC=AB，再得出OA，根據(jù)菱形的性質(zhì)與勾股定理求出OB，即可得出BD；
（2）由菱形ABCD的面積=兩條對角線乘積的一半，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∵AE垂直平分BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
∴AB=BC=AC
∵菱形ABCD的周長為16cm，
∴AB=BC=AC=4，
∴OA=2，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$；
（2）菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC×BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形面積的計算等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明等腰三角形和運用勾股定理求出OB是解決問題的關(guān)鍵．