Question

13．已知在△ABC中，邊BC的長與BC邊上的高的和為22．
（1）寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數關系式，并求出面積為48時BC的長；
（2）當BC多長時，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
（3）當△ABC面積最大時，是否存在其周長最小的情形？如果存在，請說明理由，并求出其最小周長；如果不存在，請給予說明．

Answer 1

分析 （1）由題意得：y=$\frac{1}{2}$•x•（22-x）=-$\frac{1}{2}$x²+11x（0＜x＜22），當y=48，解方程即可解決問題．
（2）利用配方法，根據二次函數的性質即可解決問題．
（3）如圖，作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=11-x，因為△ABC的周長=BC+AB+AC=11+$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$，欲求△△ABC的周長最小值，即就是求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值，相當于在x軸上找一點M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距離之和的最小值，作點E關于x軸的對稱點E′，連接FE′交x則于M，此時ME+MF最小，最小值=$\sqrt{1{1}^{2}+2{2}^{2}}$=11$\sqrt{5}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意得：y=$\frac{1}{2}$•x•（22-x）=-$\frac{1}{2}$x²+11x（0＜x＜22），
當y=48時，-$\frac{1}{2}$x²+11x=48，解得x=6或16，
當△ABC面積為48時BC的長為6 或16；
（2）由（1）得：，y=-$\frac{1}{2}$x²+11x=-$\frac{1}{2}$（x-11）²+$\frac{121}{2}$，
∴當x=11即BC=11時，△ABC的面積最大，最大面積是$\frac{121}{2}$；
（3）△ABC的周長存在最小的情形，理由如下：
如圖，作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=11-x，

∵△ABC的周長=BC+AB+AC=11+$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$，
欲求△△ABC的周長最小值，即就是求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值，
相當于在x軸上找一點M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距離之和的最小值，

作點E關于x軸的對稱點E′，連接FE′交x則于M，此時ME+MF最小，最小值=$\sqrt{1{1}^{2}+2{2}^{2}}$=11$\sqrt{5}$
當△ABC面積最大時，存在其周長最小的情形，最小周長為11$\sqrt{5}$+11．

點評 本題考查二次函數的應用、三角形的面積、周長、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，本題的突破點是把求$\sqrt{1{1}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{1{1}^{2}+（11-x）^{2}}$的最小值問題，轉化為在x軸上找一點M（x，0），到E（0，11），F（11，11）的距離之和的最小值，屬于中考常考題型．